La paradoja del cumpleaños

¿Cuántas personas debe haber en una clase para que sea probable que dos de ellas cumplan años el mismo día?

Imaginemos que estamos en una clase y comenzamos a preguntar el día del cumpleaños a cada uno de los alumnos de la clase:

Juan: ¡Yo hago los años el 3 de Febrero!

Paula: ¡Yo el 14 de Mayo!

Alicia:¡Yo el 1…!

…

¿Cuál sería el número de alumnos que debe haber en la clase para que al decir que hay dos personas que cumplen años el mismo día tengamos más posibilidades de acertar que de fallar?

Obviamente si hay 366 alumnos en la clase, tiene que haber dos personas que cumplan años el mismo día. Vamos a ir más allá….

Vamos a ver que sólo se necesitan 23 alumnos (¿Solo?) para que la probabilidad de que dos alumnos cumplan años el mismo día sea mayor que la probabilidad que dos de ellos no hagan los años el mismo día.

Antes de ello, decir que estamos desechando los años bisiestos y las personas gemelas o mellizas, y, por supuesto, estamos teniendo en cuenta que los alumnos pueden nacer cualquier día del año.

Empecemos poco a poco…

Supongamos que tenemos, por ejemplo, 5 alumnos en una clase. Lo que vamos a hacer primero es calcular la probabilidad de que ninguno de esos 5 alumnos cumpla años el mismo día.

Cojamos dos de esos alumnos. La probabilidad que estos dos alumnos no hagan los años el mismo día es

Ahora consideremos otro alumno más. La probabilidad que este tercer alumno no haga los años el mismo día que ninguno de los otros dos es

(El segundo alumno haga los años un día de los 364 restantes que tiene un año)

Así que la probabilidad que los tres alumnos no hagan los años el mismo día será el producto de la probabilidad que los dos alumnos primeros no hagan con años el mismo día y la probabilidad de que el tercero no haga los años el mismo día que lo otros dos, es decir, la probabilidad será

Si continuamos con este argumento ....

Llegamos a que la probabilidad de que ninguno de los 5 alumnos que tenemos en nuestra clase cumpla años el mismo día es

Hasta aquí fácil, ¿no? Ahora vamos a extender este sencillo argumento a una clase en la que hay N alumnos. Pues bien, razonando igual tenemos que la probabilidad de que ninguno de esos alumnos cumple años el mismo día es

El suceso complementario a que no coincida ninguna de las fechas de cumpleaños de los N alumnos de la clase es que, al menos, dos de los alumnos hagan los años el mismo día, ¡Justo lo que estamos buscando!

Por lo tanto, la probabilidad de que en una clase de N alumnos haya, al menos, dos de ellos que cumplan años el mismo día es

La siguiente tabla nos muestra esta probabilidad para diferentes números de alumnos

Vemos que en el momento que tengamos 23 personas, ya es más probable que improbable que dos de ellas cumplan años el mismo día. Además vemos que si tenemos 60 personas, es prácticamente seguro que dos de ellas cumplen años el mismo día. ¿Maravilloso no?

Para poner punto y final, he de decir que lo que el problema nos plantea es que si estamos en una habitación con 22 personas más, es más probable que improbable que dos de ellas cumplan años el mismo día; que no es lo mismo (¡OJO!) que haya otra persona que cumpla años el mismo día que nosotros, pues esta probabilidad es mucho más baja.

Parece que esto no es cierto, que resulta imposible

que en un número de personas tan reducido 

haya bastante probabilidades... En eso consisten las paradojas, una verdad matemática que contradice la intuición.

Espero que os haya gustado, que con un poco de suerte 😜 cumplamos años el mismo día: 12 de Julio.

¡Ah! y si hoy es tu cumpleaños, ¡Felicidades!